PENGGUNAAN ISTILAH DALAM RUMUS VOLUME PRISMA YANG DAPAT MEMBINGUNGKAN SISWA

Fenomena siswa tidak memahami materi matematika dengan baik bukan hanya disebabkan sulitnya materi matematika. Terkadang ketidakpahaman itu juga terjadi juga karena istilah-istilah yang digunakan menyimpang dari kehidupan sehari-hari.

Istilah yang menyimpang dari kehidupan sehari-hari misalnya dalam materi Volume Prisma. Dalam buku-buku pelajaran matematika, biasanya dituliskan rumus volume prisma seperti berikut ini:

Volume Prisma = Luas alas x tinggi

Jadi, penggunaan rumus volume prisma untuk menghitung volume prisma segitiga di bawah ini adalah sebagai berikut.

Volume = Luas alas x tinggi = Luas segitiga ABC x AD

Penggunaan rumus untuk perhitungan di atas tidak bermasalah bagi siswa karena sesuai dengan kehidupan sehari-hari. Segitiga ABC merupakan alas prisma dan AD merupakan tingginya.

Permasalahan akan terjadi jika bangunnya direbahkan.

Untuk menghitung volume prisma di atas, maka yang dijadikan sebagai alas adalah segitiga ABC atau segitiga DEF. Wuih, anehkan! Entah sejak kapan istilah alas digunakan untuk menyatakan sesuatu yang tidak terletak di dasar bangun.

Lebih-lebih lagi untuk tinggi prisma. Untuk menghitung volume prisma, maka yang merupakan tingginya adalah AD atau BE, atau CF. Aneh lagi kan! tinggi ko mendatar.

Kalau kita lihat pada bangun prisma di atas, seharusnya yang dikatakan alas adalah segiempat ACFD. Begitu pula tinggi, seharusnya yang memenuhi adalah AB. Membingungkan bukan! Wajar saja kalau siswa keliru menghitung volume bangun prisma.

Inilah yang saya maksud adanya penyimpangan istilah-istilah matematika dengan kehidupan sehari-hari. Kalau ini dibiarkan maka lama-kelamaan akan membuat siswa merasa matematika tidak sesuai dengan kehidupan sehari-hari. Tentunya ini tidak kita inginkan bukan...........

TIDAK PERNAH ADA OPERASI 0/0 DALAM LIMIT

Kita mengetahui bahwa  memberikan hasil yang tidak terdefinisi. Tapi jika kita menyelesaikan persoalan limit, sepertinya kita melakukan operasi . Contohnya dalam kasus berikut:

Pada kasus di atas, untuk x -> 3, kita diperkenankan mencoret (x – 3) yang sepertinya memberi kesan diperbolehkannya . Benarkah demikian?
***
Melalui cerita di bawah ini mudah-mudahan kita dapat memahami alasannya.

Anak-anak yang hidup di perkotaan biasanya sulit menemukan tanah lapang tempat bermain layangan. Oleh karena itu mereka biasanya menjadikan atap rumah sebagai tempat bermain layangan.

Pada saat saya dan teman-temanku sering bermain layangan di atas sebuah rumah kosong. Rumah kosong tersebut sudah tua dan banyak kerusakan karena lama ditinggalkan dan tidak dirawat oleh pemiliknya. Kerusakan itu tidak hanya pada bagian dalam tetapi juga pada atapnya. Ada sebuah lubang yang cukup besar dan jika tidak berhati-hati maka kami akan jatuh terperosok ke dalam. Maklum, besarnya diameter lubang melebihi dua kali besarnya diameter tubuh kami.

Suatu hari pamanku ikut bermain di atap rumah kosong tersebut. Saat asyik bermain, tiba-tiba pamanku memberikan sebuah sayembara. Hadiahnya juga tidak tanggung-tanggung dan cukup wah bagi kami yang saat itu ada tiga orang. Mau tahu? Sebuah coklat silverqueen yang gede.

”Kalian mau coklat ini?” pamanku berbicara sambil menunjukkan sebuah coklat silverqueen yang gede dan masih terbungkus rapi dalam kemasannya.

Sambil meneguk liur tanda ngiler kami serempak menjawab, ”mau”.

”Tapi ada syaratnya” terang paman sambil menyembunyikan coklatnya.

”Apa syaratnya?” tanyaku sambil mengerenyitkan dahi.

Pamanku tak segera menjawab dan hanya tersenyum.

”Apa syaratnya pama....n?” salah satu temanku ikut mendesak paman. Terang saja kami terus mendesak karena takut kalau pamanku menarik keputusannya.

”Begini. Kalian lihat lubang besar itu” jawab paman sambil melemparkan pandangan ke lubang dan menunjuknya dengan bibir.

”mmmh. Ko mulut dijadikan penunjuk sih, bukannya jari telunjuk. Seperti ikan lohan jadinya” kataku dalam hati tapi tak berani ketawa. Takut tersinggung. Kedua temanku pun tersenyum tertahan.

Kemudian kami bersama memandang lubang yang dimaksud pamanku.
”Kalau kalian dapat tepat berdiri di atas lubang itu dan tidak terjatuh ke dalamnya maka coklat ini akan aku berikan” lanjut pamanku.

”Begitu. Kami boleh bekerjasama kan?” tanya temanku

”Boleh” jawab pamanku sambil mengangguk.

Kami bertiga bergegas bergerak menuju lubang. Kami bekerjasama berusaha agar berdiri di atas lubang tapi tidak masuk ke dalam. Namun, dari arah manapun kami mendekati lubang tetap saja kami tidak bisa. Ya, yang dapat kami lakukan hanya mendekati lubang sekeras apapun kami bekerja sama. Entah itu saling berpegangan dan sebagainya. 

Yah. Seperti peribahasa bagai punguk merindukan bulan, kami pun tidak mendapatkan coklat itu. Hanya mampu berimajinasi saja.
***
Penggalan cerita di atas dapat kita ibaratkan dengan limit. Jika lubang diibaratkan sebagai 3, maka yang dikatakan x mendekati 3 (lambangnya x->3) adalah seperti anak-anak tersebut yang  bergerak mendekati lubang. Mereka hanya mampu mendekati lubang tanpa pernah dapat berdiri di atas lubang.

Jadi, yang dimaksud dengan x -> 3 adalah x hanya semakin mendekati 3 baik dari kiri maupun kanan tetapi tidak pernah mencapai 3. Artinya tidak akan pernah x = 3.

Oleh karena itu, jika x -> 3 (x hanya mendekati 3) maka (x – 3) tidak akan pernah sama dengan 0. Ini artinya melakukan operasi    diperbolehkan karena tidak sama dengan .

Nah, sekarang sudah tahu kan alasannya.

Membuat Media Interaktif untuk Menjelaskan Konsep Sudut dengan Mathematica

Dalam artikel kali ini, kita akan mencoba membuat media interaktif yang dapat digunakan untuk memahami konsep sudut dengan Mathematica. Dengan media ini nanti, siswa diharapkan dapat melihat efek perubahan besar sudut mulai dari 0-360 derajad.

Untuk mempermudah pemahaman dalam proses pembuatannya, penjelasan akan diberikan secara tahap demi tahap.
Sebagai ilustrasi, perhatikan hasil akhir dari media yang akan kita buat di bawah ini.
If you can see this, then you might need a Flash Player upgrade or you need to install Flash Player if it's missing. Get from Adobe.

OK.. kita mulai saja pembuatannya.
Langkah pertama kita harus buat perintah untuk membuat animasi di Mathematica.

view sourceprint?

1.Manipulate[Graphics[], {}]

Lho… kok masih kosong parameter-parameternya? Sabar teman… kita baru mulai langkah awal.
Karena kita akan membuat animasi perubahan sudut dari 0 – 360 derajad, maka kita anggap animasi ini memiliki 361 frame, Tapi bagaimana menyatakannya dalam Mathematica? Ya… kita tambahkan saja dalam parameter perintah di atas

view sourceprint?

1.Manipulate[Graphics[], {sudut, 0, 360, 1}]

Apa maksud dari parameter {sudut, 0, 360, 1}? Maksudnya adalah perubahan sudutnya mulai dari 0 – 360 dengan tingkat kenaikan sudutnya 1 derajad.
Trus… obyek apa yang pertama kali dibuat? Mmm… kita bisa membuat obyek garis merah putus-putus, yang horizontal terlebih dahulu. Garis ini digunakan sebagai garis bantu untuk membaca sudut.

view sourceprint?

1.Manipulate[Graphics[{{Red, Dashed, Line[{{-1, 0}, {1, 0}}]}}],

2.{sudut, 0, 360, 1}]

Garis tersebut dimisalkan menghubungkan titik (-1, 0) dan (1, 0).
Selanjutnya kita buat juga garis vertikalnya.

view sourceprint?

1.Manipulate[Graphics[{{Red, Dashed, Line[{{-1, 0}, {1, 0}}]},

2.{Red, Dashed, Line[{{0, 1}, {0, -1}}]}}],

3.{sudut, 0, 360, 1}]

Berikutnya, kita buat garis hitam horizontal yang bersifat statis.

view sourceprint?

1.Manipulate[Graphics[{{Red, Dashed, Line[{{-1, 0}, {1, 0}}]},

2.{Red, Dashed, Line[{{0, 1}, {0, -1}}]},

3.{Line[{{0, 0}, {1, 0}}]}}],

4.{sudut, 0, 360, 1}]

Nah… setelah garis sudut statis sudah dibuat, berikutnya garis sudut yang dinamis (yang bergerak). Garis ini kita buat dengan panjang 1 satuan. Bagaimana cara membuatnya? Mmm.. sebentar.. Perintah Mathematica untuk membuat garis adalah Line[]. Garis ini menghubungkan 2 buah titik. Lantas… titik mana saja untuk membuat garis dinamis ini? Salah satu titiknya jelas ada di (0, 0) karena merupakan titik pangkal perputaran. Selanjutnya apa titik yang kedua? Bagaimana pula hubungan titik tersebut dengan sudut? Maksudnya jika sudut yang dibentuk antara garis hitam statis dengan garis dinamis adalah m derajad, bagaimana posisi titik kedua untuk membuat garis dinamis ini? OK.. perhatikan ilustrasi berikut ini

Dari gambar di atas, dapat dituliskan
cos(m) = x/1 = x
sin(m) = y/1 = y
Sehingga titik (x, y) kaitannya dengan sudut yang dibentuk garis dinamis terhadap garis statis adalah (cos(m), sin(m)), dengan m nya adalah sudut. Dengan demikian garis dinamis ini menghubungkan titik (0, 0) dan (cos(m), sin(m)). Namun ingat bahwa nilai sudut m pada Mathematica adalah dalam satuan radian, sedangkan satuan sudut yang kita gunakan adalah derajad. Maka kita harus konversi m ke dalam derajad, yaitu Pi*m/180. Sehingga titik untuk membuat garis dinamis ini adalah (0, 0) dan (cos(Pi*m/180), sin(Pi*m/180)). Nah… kita buat di Mathematicanya. Ingat… kita sesuaikan variabelnya, karena gunakan variabel bernama ‘sudut’, maka m nya kita ganti dengan ‘sudut’, dimana nilai ‘sudut’ ini bergerak dari 0 – 360 derajad.

view sourceprint?

1.Manipulate[Graphics[{{Red, Dashed, Line[{{-1, 0}, {1, 0}}]},

2.{Red, Dashed, Line[{{0, 1}, {0, -1}}]},

3.{Line[{{0, 0}, {1, 0}}]},

4.{Line[{{0, 0}, {Cos[sudut Pi/180], Sin[sudut Pi/180]}}]}}],

5.{sudut, 0, 360, 1}]

Apabila perintah di atas kita jalankan, maka animasi sudah bisa dijalankan dengan menggeser slider yang ada. Namun, alangkah cantiknya seandainya kita gambar pula kurva lengkung yang menunjukkan sudut yang dibentuk antara dua garis hitam.
Untuk membuat kurva lengkung ini, kita gunakan perintah Circle[]. Perintah ini pada dasarnya digunakan untuk membuat lingkaran, sesuai namanya. Namun dapat pula kita membuat kurva lengkung menggunakan perintah ini. Sebagai contoh misalkan diberikan perintah Circle[{0, 0}, 1, {0, Pi}]. Perintah ini akan membuat lingkaran dengan pusat (0, 0), panjang jari-jari 1 satuan, dan kurva yang dibentuk mulai dari sudut 0 s/d Pi radian. Dengan demikian perintah ini akan menghasilkan kurva lengkung 1/2 lingkaran.
Nah… sekarang kita kaitkan dengan kasus yang sedang kita kerjakan. Dalam hal ini kurva lengkung yang akan dibuat mestinya berada di pusat (0, 0), panjang jari-jarinya kurang dari 1 satuan (misal kita ambil 0.25 satuan), dan sudut awal kurva lengkung adalah 0 radian (0 derajad). Yang menjadi masalah adalah sampai sudut berapakah kurva lengkung ini dibuat? Ya… tentu saja sampai m radian atau Pi*m/180 derajad. Sehingga perintah untuk membuat kurva lengkung ini adalah Circle[{0, 0}, 0.25, {0, Pi*m/180}]. Sekarang bisa kita tambahkan ke perintah Mathematicanya

view sourceprint?

1.Manipulate[Graphics[{{Red, Dashed, Line[{{-1, 0}, {1, 0}}]},

2.{Red, Dashed, Line[{{0, 1}, {0, -1}}]},

3.{Line[{{0, 0}, {1, 0}}]},

4.{Line[{{0, 0}, {Cos[sudut Pi/180], Sin[sudut Pi/180]}}]},

5.{Dashed, Circle[{0, 0}, 0.25, {0, sudut Pi/180}]}}],

6.{sudut, 0, 360, 1}]

OK… jadi deh… selamat bersenang-senang dengan media ini. Anda dapat melihat nilai sudutnya atau bahkan mengganti nilai sudut sesuai yang diinginkan. Bagaimana caranya? Cukup klik tanda + di sebelah kanan slider (scroller untuk menggeser sudut).