Belajar Integral

Matematic terus menantang saya agar berinovasi menemukan cara belajar kalkulus yang mudah dan asyik. Tahap demi tahap saya mulai menemukan inovasi yang diharapkan 
Pemahaman tentang luas bidang menjadi dasar utama integral. Penggunaan istilah yang tepat akan sangat membantu kita.
Luas segi empat adalah panjang x lebar = p x l.
Dalam koordinat cartesius yang mengacu titik asal O(0,0) maka luas segi empat adalah p x l = a.t = x.y.
Luas segitiga adalah 1/2 panjang x lebar = 1/2 p x l = 1/2 a.t = 1/2 x.y
Luas bidang di bawah kurva y = x^2 adalah
1/3 a.t = 1/3 x.y = 1/3 x.x^2 = 1/3 x^3
(Sesuai dengan hasil integral x^2)
Luas bidang di bawah kurva y = x^3 adalah
1/4 a.t = 1/4 x.y = 1/4 x.x^3 = 1/4 x^4
Sesuai dengan hasil integral x^3.


Kata-kata diatas nampak sederhana. Tetapi tidak selalu mudah untuk diterapkan. Bila berhasil menerapkannya memang menjadi sederhana dan mudah.

Dalam belajar integral kalkulus misalnya, saya terus berusaha menemukan formula-formula yang sederhana. Dengan mengujikan formula dan notasi kepada anak-anak, saya memperoleh banyak feedback.

Pemilihan notasi integral, misalnya, sangat berpengaruh besar. misalnya pada:

Notasi Leibniz adalah notasi paling mantab menurut saya pribadi dan para guru matematika. Tetapi bagi anak-anak, notasi Leibniz tidak mudah dipahami.

Notasi huruf s yang dipanjangkan (seperti cacing), dx, batas atas, batas bawah, dan C cukup memecah konsentrasi anak-anak untuk menangkap pesan utama dari integral itu sendiri.

Notasi Newton untuk integral memang tidak banyak yang menggunakan. Newton memberi tanda garis vertikal di atas fungsi. Notasi ini ambigu dengan banyak notasi lain. Saya juga tidak merekomendasikan notasi ini untuk para siswa-siswi.

Notasi Euler untuk diferensial adalah Dx. Sedangkan untuk integral dapat kita pandang sebagai antidiferensial dengan notasi Ax. Saya pikir notasi Euler cukup sederhana. Tetapi bagi anak-anak, masih belum cukup sederhana.

Tentu masih banyak alternatif notasi-notasi lain. Lalu muncul ide, “Mengapa tidak membuat notasi sendiri saja?”

Dengan tujuan utama memudahkan proses pembelajaran integral kalkulus di penjelasan yang saya contohkan ini menggunakan notasi tanda panah saja.

misalnya:

Code:

x → 1/2 x^2

Kita membacanya:

Integral x adalah 1/2 x^2

2x → x^2

Integral 2x adalah x^2

Dengan notasi sederhana seperti di atas, anak-anak sangat terbantu. Mereka dapat langsung fokus pada kata-kata utamanya yaitu integral itu sendiri. Mereka tidak merasa diperumit dengan notasi-notasi yang tidak akrab.

Pada kesempatan kali ini, kita akan coba memecahkan integral trigonometri.

Untuk memecahkan integral trigonometri dapat dipergunakan metoda subsitusi atau penggantian. Yakni berusaha dijadikan sin u du atau cos u du. Selanjutnya gunakan rumus-rumus dasar, seperti Integral Sin x = -Cos x + C dan Integral Cos x = sin x. Mari perhatikan soal-soal berikut ini.

soal 1. Integral sin (5x+10)dx

misalkan 5x+10= u

diturunkan atau dideferensial

khan jadi: 5dx=du.
dx= 1/5 du.

masukkan lagi ke rumus di atas.

5x+10 diganti ama u dan dx diganti ma 1/5 du jadinya:

Integral sin u. 1/5 du.

1/5 boleh dipindah ke depan.

1/5 (Integral (sin u du))= 1/5 (-Cos u) + C
=-1/5 Cos u+C

Kembalikan lagi u-nya dengan 5x+10; jadinya adalah:

-1/5 Cos (5x+10) + C

soal kedua:

Integral (2sinx + cos(5-2x))dx jadi

Integral 2sinxdx + Integral (5-2x)dx.  Agar lebih mudah selesaikan satu persatu.

Integral 2sinxdx = -2cosx + C

Integral Cos (5-2x)dx pakai lagi substitusi.

5-2x = U
-2dx = dU
dx= -1/2 du

Nah ganti lagi seperti yang tadi:

Integral Cos U. -1/2 du.

Ingat -1/2 bisa dipindah ke depan. Jadinya:

-1/2 Integral Cos U du = -1/2 Sin U + C

Kembalikan lagi yang tadi diganti.

= -1/2 Sin (5-2x) +C

Gabungan keduanya.

Jadi hasil akhirnya adalah -2 cos x - 1/2 Sin (5-2x) +C

Perhatian: C-nya cukup ditulis sekali lagi atau digabungin jadi satu. Karena c adalah konstanta.

Apabila telah memahami silakan kerjakan soal berikut ini:

Integral 2xSin(x^2+5)dx

Selamat berlatih.