Vektor Kalkulus

Koordinat bola adalah sebuah sistem dari curvilinear coordinates yang alami untuk posisi-posisi (titik) di atas sebuah bidang berbentuk bola. Dalam beberapa kasus-kasus tertentu yang melibatkan pergerakan arah pada bidang berbentuk spheroid kita membutuhkan koordinat bola untuk mempermudah proses perhitungan.

Pada kesempatan ini mari kita defenisika satu persatu bidang-bidang yang terdapat pada koordinat bola dan turunan unit vektor serta gradiennya.

Dengan menggunakan aturan phytagoras sederhana kita dapat mendefinisikan

ρ = r sin φ

x = ρ sin θ

= r sin φ sin θ

z = r cos φ

y = ρ cos θ

= r sin φ ρ cos θ

Nah..sekarang tentukan vektor posisinya yaitu

Maka vektor satuannya adalah:

Dari pemahaman forumlasi diatas kita dapat menentukan notasi operator gradiennya

MATERI TUTORIAL ILMU MATEMATIKA

POKOK MATERI TUTORIAL ILMU MATEMATIKA YANG DISESUAIKAN DENGAN STANDAR KOMPETENSI DEPDIKNAS

Bilangan Melakukan dan menggunakan sifat-sifat operasi hitung bilangan dalam pemecahan masalah. Menaksir hasil operasi hitung. Pengukuran dan geometri Mengidentifikasi bangun datar dan bangun ruang menurut sifat, unsur, atau kesebangunannya. Melakukan operasi hitung yang melibatkan keliling, luas, volume, dan satuan pengukuran. Menaksir ukuran (misal: panjang, luas, volume) dari benda atau bangun geometri. Mengaplikasikan konsep geometri dalam menentukan posisi, jarak, sudut, dan transformasi, dalam pemecahan masalah. Peluang dan Statistika Mengumpulkan, menyajikan, dan menafsirkan data. Menentukan dan menafsirkan peluang suatu kejadian dan ketidakpastian. Trigonometri Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri dalam pemecahan masalah. Aljabar Melakukan operasi hitung dan manipulasi aljabar pada persamaan, pertidaksamaan, dan fungsi, yang meliputi: bentuk linear, kuadrat, dan suku banyak, eksponen dan logaritma, barisan dan deret, matriks, dan vektor, dalam pemecahan masalah. Kalkulus Menggunakan konsep limit laju perubahan fungsi (diferensial dan integral) dalam pemecahan masalah.

P R O B L E M A

1. Persamaan x 2 (1 – m) + x(8 – 2m) + 12 = 0 mempunyai akar kembar, maka nilai m = 2. Nilai dari 3. Nilai maksimum dari fungsi F (x) = –2x 2 + (k + 5) x + 1 – 2k adalah 5. Nilai k yang positif adalah : 4. Diketahui lingkaran 2x 2 + 2y 2 – 4x + 3py – 30 = 0 melalui titik (–2, 1). Persamaan lingkaran yang sepusat tetapi panjang jari–jarinya dua kali panjang jari-jari lingkaran tadi adalah .... 5. Suatu kebun berbentuk persegi panjang. Salah satu sisinya berbatasan dengan sungai. Keliling kebun tersebut akan dipagari dengan kawat sepanjang 48 meter. Jika sisi yang berbatasan dengan sungai tidak di pagar, maka luas maksimum kebun tersebut adalah ... 6. Suku banyak f(x) dibagi (x + 5) memberikan sisa (2x – 1) dan dibagi oleh (x – 3) memberikan sisa 7. Sisa pembagian f(x) oleh (x 2 + 2x – 15) adalah .... 7. Nilai dari 8. Persamaan parabola pada gambar dibawah ini adalah .... OK Friend.., Cobalah Anda selesaikan soal tersebut sebagai sarana latihan. Bila Anda ingin mengetahui teori dan soal-soal latihan untuk UAN

Menggunakan kalkulus untuk masalah sehari-hari

Masalah masalah praktis
Yang dimaksud dengan masalah praktis adalah masalah yang mungkin timbul dalam kehidupan sehari-hari. Masalah-masalah yang demikian jarang mempunyai titik-titik singular, untuk masalah-masalah ini nilai maksimum dan minimum biasanya terjadi pada titik stasioner, walaupun titik-titik ujung harus diperiksa.
Berikut adalah dua contoh penggunann kalkulus dalam masalah sehari-hari.

1. Kotak persegi panjang dibuat dari selembar papan, panjangnya 24 inci dan lebarnya 9 inci, dengan memotong bujur sangkar identik pada keempat pojok dan melipat ke atas sisi-sisinya. Carilah ukuran kotak yang volumenya maksimum. Berapa volume kotak ?

Pembahasan 1 : Andai x adalah sisi bujur sangkar yang harus dipotong dan v adalah volume kotak yang dihasilkan, maka :
x tidak dapat lebih kecil dari 0 ataupun lebih besar dari 4,5. sehingga masalahnya adalah memaksimumkan V pada [0 ; 4,5]. Titik stasioner ditemukan dengan menetapkan dan menyelesaikan persamaan yang dihasilkan.


memperoleh X = 2 atau X = 9, tetapi 9 tidak pada selang [0 ; 4,5] jadi titik kritis hanya terdapat di tiga titik yaitu 0 , 2 , dan 4,5.
pada ujung interval 0 dan 4,5 diperoleh V = 0, pada 2 diperoleh V = 200 sedemikian sehingga kotak mempunyai Volume maksimum 200 incikubik jika X = 2 yaitu apabila kotak berukuran panjang 20 inci, lebar 5 inci , dan tinggi 2 inci.

2. Menggambarkan suatu masalah yang dialami oleh sebuah perusahaan yang menyalurkan produknya menggunakan kendaraan (misal truk). Dengan bertambahnya kecepatan maka biaya operasional (untuk bahan bakar, pelumas dan lainnya) menjadi bertambah.
Biaya operasional sebuah kendaraan angkutan diperkirakan sekitar rupiah per kilometer saat dikemudikan dengan kecepatan V Km per jam. Pengemudinya dibayar 1400 rupiah per jam. Pada kecepatan berapakah biaya pengiriman ke suatu kota yang jauhnya k Km akan paling murah ? dengan anggapan bahwa aturan kecepatan yang diperbolehkan .

Pembahasan 2 :
Misalkan C adalah biaya total dalam rupiah untuk menjalankan truk sejauh k Km.
C = biaya pengemudi + biaya operasi kendaraan


maka :

dengan mengambil
mendapatkan
artinya pada kecepatan 53 Km per jam adalah total pengeluaran biaya optimum. Tetapi untuk lebih meyakinkan , maka perlu meninjau total biaya (C) pada ketiga titiknya yaitu di v = 40, v = 53, dan v = 60. Caranya silakan substitusi satu persatu harga v ke persamaan